物体が空間内を運動するとき、軌道が時刻の関数として表示できれば、運動は確定したといえます。
これを描図により決定する方法を考えると、任意の時刻に隣接する時刻を指定することはできないため、グラフ上に適当な時間間隔で、物体の位置ベクトルを示す点を表示していき、また、時間間隔が十分短ければ、軌道が滑らかな曲線軌道として観測できることから、可能性としては無数に存在する経路の中から隣接した点を直線で接続する経路を選択して軌道の完成を目指すことになります(図4-1-1)。
図4-1-1. 運動する物体の軌道(描図)
次に、この事情を時刻の関数により軌道を表示するという側面から考えると、物体の軌道の関数形(位置ベクトル)が求まれば、物体の位置を描図する方法と同様に運動を確定できますが、冒頭の記述より位置ベクトルが運動を直接決定することに合理性はありません。
また、次の候補として速度の関数形が求まれば、速度が座標の時間変化率であることから、座標は速度の関数形に情報が含まれているため軌道が決定できるといえますが、冒頭の記述より速度も運動を直接決定する要因になりえません。
従って、さらに速度の時間変化率である加速度の関数形を決定する手法が必要になり、冒頭の加速度と力の考察より、力と加速度の関係を見出すことは可能と考えられるので、物体の運動の軌道を決定するためには、加速度と力を規定する数学的手段を見出して、各々の問題で必然的に加速度が規定される関係式を探求して、未知の関数である位置ベクトルを割り出す手法を模索することになります。
つまり、関数から軌道を決定する手法では、基準となる時刻における初期座標と初期速度が分かっているとき、軌道上の各時刻における力と加速度の関係から加速度を決定することに始まり、加速度が速度の時間変化率であることから、加速度に時間間隔を乗じて各時刻の速度変化を算出して各時刻の速度を加算することで、わずかに時間が経過した時刻の速度を確定した上で、速度が位置ベクトルの時間変化率であることから、速度に時間間隔を乗じて各時刻の変位を算出して各時刻の位置ベクトルを加算することにより、僅かに時間が経過した時刻の位置ベクトルを決定していきます(図4-1-2)。
図4-1-2. 運動する物体の軌道(関数を使用)
ちなみに、物体の位置を記録して軌道を決定していく手法と関数から物体の軌道を決定する手法は、一般に異なる結果が得られますが、各区画で速度が一定とみなせる程度に時間間隔を十分短くすることで、双方による結果は、ほぼ一致するという結論が得られます(図4-1-3)。よって、関数を用いた手法のように、一旦、物体に作用する力から加速度を確定させる手段を獲得して、速度、位置ベクトルを自動的に確定させられる方法が得られることは、物体の運動を解析する手法として非常に魅力があり、この手法による運動の解析については、次節以降で紹介します。
図4-1-3. 物体の軌道の近似方法の違いの影響
さらに、疑問を持った人もいるかもしれないので説明を加えると、図4-1-1、図4-1-2では軌道上に時刻を表示して図示していますが、これらは特殊相対論で用いられる時空図に倣って作成した図となります。ここで、相対性理論とか言い出すと理解が困難になることを心配する人もいるかもしれませんが、もちろん、相対性理論を話す気はなく、時空図自体は、ただの時空の中での物体の軌道の表示方法であるので、深く考えずに使い慣れるといいと思います。
時空図は、上記のように物体の時空内での軌道の表示した図のことで、次元を統一するために時刻tに真空中の光速cを乗じたctと空間座標を独立変数として、時空内における物体の軌跡を追跡した図になります。一方、力学において類似の図を描くことも可能ですが、この際、時刻には光速を乗じることは無く、時刻tを独立変数として空間座標を定義し、縦軸に時刻、直交する方向に各時刻の位置ベクトルの空間成分を表示していくと、見かけ的には時空図と同様の図となり、空間1次元または２次元の場合は図4-1-4のような図になります。
そして、時空図的な表示から空間内における軌道上に時刻を表示する図に変換するためには、1次元の運動の例では、図4-1-4左図に示すように、各時刻における物体の位置を描図していって、運動方向に曲線を射影して各点を通過した時刻を表示した図が、2次元の運動の例では、図4-1-4右図に示すように、時刻と直交するように直交座標による平面を設定して、各時刻の物体の位置を描図して運動平面に曲線を射影して各点を通過した時刻を表示した図が、4次元時空での物体の軌道を表示した図4-1-1、図4-1-2の表示方法に対応します。
上記の例のように、1次元運動と２次元運動の例を提示したのは、人類は3次元までの次元しか認識できないため、空間内の運動を4次元的に認識することが不可能であることが理由で、どうしても考えたい人はいるかもしれませんが、各時刻に空間が定義できる時空を考えて、3次元以下の時空からの類推で、4次元空間の中で各時刻における物体の位置を空間方向に射影して、各々の時刻を表示していった図であるといった程度で満足してください。
図4-1-4. 時空図による物体の軌道の表示